수학올림피아드에 출제되었었다네요 << 정답공개
아래의 그림과 같은 예각삼각형 ABC와 정삼각형 PQR을 생각한다.
△ABC 안에
∠BDC=∠CDA=∠ADB=120°
가 되는 점 D를 잡는다(△ABC가 예각삼각형이므로 D는 확실히 잡을 수 있다).
다음으로 정삼각형 PQR 안에
OP=BC, OQ=CA, OR=AB
가 되는 점 O를 잡을 수 있는 것으로 한다. 이때 이 정삼각형의 한 변의 길이 x와 DA=u， DB=v, DC=w의 관계를 구하라.
이 문제는 미국 수학올림픽에 출제된 문제이다.
힌트랄까??? 문제를 이런식으로 내볼께요.
삼각형 ABC 의 요소를 이용하여 정삼각형 PQR 의 x의 길이를 구하라
정답입니다. >>> x = u + v + w 아래는 설명
댓글 14개
6년 전
이것 좀 풀어주세요. 왜 아무도 안풀어주시는 건가요.
힌트 > 다른 방식으로 문제를 내면 삼각형 ABC 의 요소를 이용하여 정삼각형 RQR 의 x의 길이를 구하라
힌트 > 다른 방식으로 문제를 내면 삼각형 ABC 의 요소를 이용하여 정삼각형 RQR 의 x의 길이를 구하라
6년 전
@팻시 점심을 거르면서 하고 있는데요.
작은 삼각형에서 a, b, c와 v, u, w 관계는 정리했은데 큰 삼각형과 연계에서 헤매고 있습니다.
작은 삼각형에서 a, b, c와 v, u, w 관계는 정리했은데 큰 삼각형과 연계에서 헤매고 있습니다.
6년 전
@상석하대 ㅎㅎ 몸상하지 않게... 뭐 퀴즈~ㄹ러 라고 신조어 생기겠네요.
본문에 힌트라고 쓰긴 했지만 더 드릴것이 없네요.
핵심은 길이라는 것 입니다.
힌트를 보면 직관적으로 무엇일것이다는 떠오르실 수 도 있을 것 같아요.
본문에 힌트라고 쓰긴 했지만 더 드릴것이 없네요.
핵심은 길이라는 것 입니다.
힌트를 보면 직관적으로 무엇일것이다는 떠오르실 수 도 있을 것 같아요.
6년 전
포기합니다.
작은 삼각형에서 얻은 관계는 다음입니다.
a^2=v^2+vw+w^2
b^2=u^2+uw+w^2
c^2=u^2+uv+v^2
120도라는 각이 주어져서 입니다.
큰 정삼각형과 관련지었던 방법은 다음입니다.
1) 각 변에 수선을 세워서 피타고라스식을 활용 : 변수가 많이 나오고 정리가 안됨
2) 면적은 √3/4x^2이므로 각 삼각형을 헤론의 공식으로 구해서 더함 : 인수분해에서 막힘
3) 각 수선의 합은 √3/2x이므로 이를 변수해서 피타고라스 정리 활용 : 변수가 정리가 안됨
정삼각형의 한 변과 내부 한 점에서 각 꼭지점으로 연결한 선분과에서 무슨 원리가 있는 것 같은데 그걸 모르겠습니다.
작은 삼각형에서 얻은 관계는 다음입니다.
a^2=v^2+vw+w^2
b^2=u^2+uw+w^2
c^2=u^2+uv+v^2
120도라는 각이 주어져서 입니다.
큰 정삼각형과 관련지었던 방법은 다음입니다.
1) 각 변에 수선을 세워서 피타고라스식을 활용 : 변수가 많이 나오고 정리가 안됨
2) 면적은 √3/4x^2이므로 각 삼각형을 헤론의 공식으로 구해서 더함 : 인수분해에서 막힘
3) 각 수선의 합은 √3/2x이므로 이를 변수해서 피타고라스 정리 활용 : 변수가 정리가 안됨
정삼각형의 한 변과 내부 한 점에서 각 꼭지점으로 연결한 선분과에서 무슨 원리가 있는 것 같은데 그걸 모르겠습니다.
orbital
6년 전
@상석하대 이 문제 1974년 미국수학올림피아드 5번 문제입니다.
저는 어쩌다 먼저 보았거든요. ㅜㅜ 중학교 과정 시작 전에요. ㅡㅡ.
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1974_USAMO_Problems/Problem_5
저는 어쩌다 먼저 보았거든요. ㅜㅜ 중학교 과정 시작 전에요. ㅡㅡ.
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1974_USAMO_Problems/Problem_5
6년 전
@orbital 여러 풀이들이 있었군요.
얼추 이해했습니다.
감사합니다.
얼추 이해했습니다.
감사합니다.
orbital
6년 전
@상석하대 저는 아직 2번은 접근도 못했습니다.
1번과 3번만 우연하게 접하여 봤거든요.
감사는 늘 선생님께 제가 감사하죠! ㅡㅡ.
1번과 3번만 우연하게 접하여 봤거든요.
감사는 늘 선생님께 제가 감사하죠! ㅡㅡ.
6년 전
풀긴했는데 그림그리기가....
6년 전
[http://sir.kr/data/editor/1907/2abae75882a6860b176c581e65a104f6_1563256360_5483.PNG]
왼쪽 삼각형의 내부 선을 기준으로 각 삼각형 변을 대각선으로 하는 같은 삼각형을 하나씩 더 그려주면 각 꼭지점이 120도인 육각형이 됩니다.
각 육각형의 변을 연장해서 보면 큰 정삼각형이 되는데 (빨간선)
아래쪽 하늘색 선을 보면
왼쪽 작은 삼각형이 정삼각형이고 가운데도 작은 삼각형(정삼각형)
이라서 하늘색 선은 a와 동일길이 임당.
제일 왼쪽길이가 w 가운데가 v 오른쪽 u 이므로 정삼각형 길이 x = w+v+u
왼쪽 삼각형의 내부 선을 기준으로 각 삼각형 변을 대각선으로 하는 같은 삼각형을 하나씩 더 그려주면 각 꼭지점이 120도인 육각형이 됩니다.
각 육각형의 변을 연장해서 보면 큰 정삼각형이 되는데 (빨간선)
아래쪽 하늘색 선을 보면
왼쪽 작은 삼각형이 정삼각형이고 가운데도 작은 삼각형(정삼각형)
이라서 하늘색 선은 a와 동일길이 임당.
제일 왼쪽길이가 w 가운데가 v 오른쪽 u 이므로 정삼각형 길이 x = w+v+u
6년 전
어차피 저는 못 풀 문제였습니다.
대들지나 말았어야 했습니다.
제시한 정답은 아무리 봐도 이해가 안됩니다.
결국은 그 구도 안에서 주어진 예각 삼각형이 딱 들어 맞는다는 말인데 어째서인지 증명하는 것 말입니다.
대들지나 말았어야 했습니다.
제시한 정답은 아무리 봐도 이해가 안됩니다.
결국은 그 구도 안에서 주어진 예각 삼각형이 딱 들어 맞는다는 말인데 어째서인지 증명하는 것 말입니다.
6년 전
@팻시 님 궁금해서 그러는데 제 풀이는 이해 하신건가요? 그림 그리기 귀찮아 축약해서 써서 그런지..
orbital
6년 전
@군포돼지 아까는 자세히 보지 못했습니다.
지금 뚫어지게 보았는데요. 머리가 딸리네요. ㅎ
풀이는 정말 멋지세요!!!
완전히 새로운 방법입니다!
//
왼쪽 삼각형의 내부 선을 기준으로 각 삼각형 변을
대각선으로 하는 같은 삼각형을 하나씩 더 그려주면
각 꼭지점이 120도인 육각형이 됩니다.
각 육각형의 변을 연장해서 보면 큰 정삼각형이 되는데 (빨간선)
아래쪽 하늘색 선을 보면
왼쪽 작은 삼각형이 정삼각형이고 가운데도 작은 삼각형(정삼각형)
이라서 하늘색 선은 a와 동일길이 임당.
//
주신 말씀 중 여기까지는 이해(수학적으로도)가 가는데요.
제일 왼쪽길이가 w 가운데가 v 오른쪽 u 이므로
여기에서 w와 u가 같다고 보신 거죠? < 여기는
도형을 상상했을 때 그림으로만 이해가 갑니다.
수학적으로는 모르겠습니다. (도형의 성질인가요?)
기가 막힌 풀이 방법입니다.
저는 수학적으로는 많이 부족하여 접근이 어려운데요.
저것을 도형으로 그려서 상상하면
그냥 보입니다. < 수학은 열외된 상태.. ㅠㅠ
정말 수학 귀신이시네요. 특히 도형이요!
지금 뚫어지게 보았는데요. 머리가 딸리네요. ㅎ
풀이는 정말 멋지세요!!!
완전히 새로운 방법입니다!
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왼쪽 삼각형의 내부 선을 기준으로 각 삼각형 변을
대각선으로 하는 같은 삼각형을 하나씩 더 그려주면
각 꼭지점이 120도인 육각형이 됩니다.
각 육각형의 변을 연장해서 보면 큰 정삼각형이 되는데 (빨간선)
아래쪽 하늘색 선을 보면
왼쪽 작은 삼각형이 정삼각형이고 가운데도 작은 삼각형(정삼각형)
이라서 하늘색 선은 a와 동일길이 임당.
//
주신 말씀 중 여기까지는 이해(수학적으로도)가 가는데요.
제일 왼쪽길이가 w 가운데가 v 오른쪽 u 이므로
여기에서 w와 u가 같다고 보신 거죠? < 여기는
도형을 상상했을 때 그림으로만 이해가 갑니다.
수학적으로는 모르겠습니다. (도형의 성질인가요?)
기가 막힌 풀이 방법입니다.
저는 수학적으로는 많이 부족하여 접근이 어려운데요.
저것을 도형으로 그려서 상상하면
그냥 보입니다. < 수학은 열외된 상태.. ㅠㅠ
정말 수학 귀신이시네요. 특히 도형이요!
6년 전
@군포돼지 네 풀이 이해됩니다. 이해되면 되죠 뭐..
orbital
6년 전
아까 팻시님이 제시해 주신 정답도 이해해 보고자 노력은 했는데요.
도형을 봐도 수학적으로는 여전히 이해를 못 하겠습니다.
왜 정답인지 도무지 모르겠습니다. (이것도 역시 도형의 성질인가요?)
도형의 성질부터 싸그리 물어 뜯어야 할 것 같다는 생각이죠.
그래야 정답을 이해할 수 있을 것 같습니다.
푸는 것은 고사하고 이해도 힘듭니다. ^^
도형을 봐도 수학적으로는 여전히 이해를 못 하겠습니다.
왜 정답인지 도무지 모르겠습니다. (이것도 역시 도형의 성질인가요?)
도형의 성질부터 싸그리 물어 뜯어야 할 것 같다는 생각이죠.
그래야 정답을 이해할 수 있을 것 같습니다.
푸는 것은 고사하고 이해도 힘듭니다. ^^
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